Олимпиада 2025-2026

Пусть $AK$— биссектриса треугольника $ABC$, точка $N$ на $AC$ такова, что $\angle NKC=\angle CAB/2$, $L$ — середина $KN$. Докажите, что $\angle KBN=\angle LAK$.

Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AI$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$; прямая $AD$ повторно пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $X$. Докажите, что $|BX-CX| = AX$.

В треугольнике $ABC$ $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной, $H$ — ортоцентр, $N$ — точка Нагеля. Докажите, что $IN=IH$ тогда и только тогда, когда угол $ONH$ прямой.

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $T$ — проекция середины $AB$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что точки $C$, $P$, $Q$, $T$ лежат на одной окружности.

В треугольнике $ABC$ $\angle B=30^{\circ}$, $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной, окружности $AIB$, $CIB$ пересекают $BC$, $AB$ соответственно в точках $D$, $E$. Докажите, что $D$ — ортоцентр треугольника $OEI$.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром в $I$. Окружности $BID$ и $AIC$ пересеклись в точке $P$, а лучи $AB$ и $DC$ в точке $Q$. Пусть $R$ — середина $PI$. Докажите, что $ARQD$ вписанный.

Даны окружность $\omega$, точка $A$ на ней и точка $B$. Пусть $X$ — произвольная точка $\omega$, $T$ — точка пересечения касательных к окружности $ABX$ в точках $X$ и $B$. Найдите геометрическое место точек $T$.

Точки $P$ и $Q$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ таковы, что $PQ=AC/2$. Точка $B'$ симметрична вершине $B$ относительно стороны $AC$. Точки $D$ и $E$ на прямых $BP$ и $BQ$ выбраны так, что прямые $AD$ и $CE$ касаются окружностей $APB'$ и $CQB'$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $BDE$ касается стороны $AC$.

Вершины прямоугольного треугольника $ABC$ — точки с целыми координатами. Вписанная в треугольник окружность с центром $I$ касается сторон $AB$, $BC$ в точках $C'$, $A'$ соответственно. Прямые $AA'$ и $CC'$ пересекаются в точке $G$. Докажите, что прямая $IG$ проходит через какую-то точку с целыми координатами.

Пусть $A_1\ldots A_n$ — выпуклый многоугольник. Вершины двух замкнутых ломаных — $A_1,\ldots, A_n$ в некотором порядке. Чему равно наибольшее возможное отношение их длин?

Дан треугольник $ABC$($AB<AC$). На луче $BA$ отмечена точка $P$ так, что $BP=AC$, на луче $CA$ точка $Q$ так, что $CQ=AB$. На прямую $PQ$ опустили перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что одна из точек пересечения окружностей $(CB_1Q)$ и $(BC_1P)$ лежит на внешней биссектрисе угла $BAC$.

Докажите, что точка Нагеля треугольника лежит на его вписанной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы двух углов высекают на стороне треугольника Жергонна, отсекающей третью вершину, отрезок вдвое меньший этой стороны.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону $AB$ в точке $M$. Пусть $K$ — проекция $M$ на $CD$. Докажите, что $KM$ — биссектриса угла $AKB$.

Дана точка $P$ внутри треугольника $\triangle ABC$. Прямые $BP, CP$ повторно пересекают окружность $ABC$ в точках $E, F$ соответственно. Окружность $\Omega$ проходит через точки $P, E$ и пересекает прямую $AC$ в точках $B_1, B_2$. Прямые $PB_1,PB_2$ пересекают прямую $AB$ в точках $C_1, C_2$. Докажите, что точки $C_1, C_2, P, F$ лежат на одной окружности.

Окружность с центром $I$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Точки $A_b$, $A_c$, $B_a$, $C_a$ — середины отрезков $A'B$, $A'C$, $B'A$, $C'A$ соответственно. Прямые $A_bB_a$ и $A_cC_a$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка, симметричная $I$ относительно $P$, лежит на $AA'$.

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$ повторно пересекают описанную около него окружность в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$. Пусть $A_3$ — точка пересечения окружностей $ABC$ и $AB_1C_1$, отличная от $A$, точки $B_3$, $C_3$ определяются аналогично, $A_4$, $B_4$, $C_4$ — основания высот в треугольнике $A_1B_1C_1$. Докажите, что прямые $AA_4$, $BB_4$, $CC_4$, $A_2A_3$, $B_2B_3$, $C_2C_3$ пересекаются в одной точке.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=2\pi/3$. Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая внутри треугольника на биссектрисе угла $A$, прямые $BP$, $CP$ пересекают $AC$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно, $D$ — произвольная точка на стороне $BC$, прямые $DE$, $DF$ пересекают $PC$, $PB$ в точках $M$, $N$ соответственно. Найдите угол $MAN$.

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $D$. Пусть $F$ — точка Фейербаха, $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $DF$. Докажите, что $FH:DF=1:2$.